HDCau trefn dau

HDCau Llinol

Cofier yn gyffredinol gellir ysgrifennu HDC llinol trefn \(n\) ar ffurf

\[ a_n(x)\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}+a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\ldots+a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_0(x)y+q_0(x)=0. \]

Mae gan unrhyw HDC llinol ddatrysiad cyffredinol ar ffurf

\[ y(x)=\text{Ffwythiant Cyflenwol} + \text{Integryn Neilltuol}, \]

lle'r ffwythiant cyflenwol yw datrysiad cyffredinol yr hafaliad homogenaidd

\[ a_n(x)\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}+a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\ldots+a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_0(x)y=0, \]

tra'r integryn neilltuol yw unrhyw ddatrysiad i'r hafaliad gwreiddiol.

HDCau trefn dau llinol homogenaidd gyda chyfernodau cyson

Gellir ysgrifennu HDCau trefn dau llinol homogenaidd gyda chyfernodau cyson (h.y., mae'r ffwythiannau \(a_j(x)\) yn gysonion) fel

\[ \frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0, \]

lle mae \(a,b\) yn gysonion.

Datrysir y fath HDCau trwy ystyried yr hafaliad ategol \(m^2+am+b=0\). Gallwn ddatrys y cwadratig yma (trwy ffactorio, cwblahau'r sgwâr neu defnyddio'r fformiwla cwadratig) i ddarganfod dau wreiddyn \(m_1\) ac \(m_2\). Yna

  • Os yw \(m_1,m_2\) ill dau yn real, mae'r datrysiad cyffredinol ar ffurf

    \[ y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}. \]

  • Os yw \(m_1=m_2\) (h.y., gwreiddyn wedi'i ail-adrodd), mae'r datrysiad cyffredinol ar ffurf

    \[ y=(A+Bx)e^{m_1x}. \]

  • Os yw \(m_1,m_2\) yn gyfiau cymhlyg, h.y., \(m_1=\alpha+i\beta\) ac \(m_2=\alpha-i\beta\), yna mae'r datrysiad cyffredinol ar ffurf

    \[ y=e^{\alpha x}\left(C\cos\beta x+D\sin\beta x\right). \]

HDCau trefn dau llinol anhomogenaidd gyda chyfernodau cyson

Ystyriwn nawr hafaliadau ar ffurf

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+a\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+by=f(x). \]

Cofier, fel arfer gelwir y ffwythiant ar yr ochr dde, sef \(f(x)\), term fforsio ac mae datrysiadau y HDCau llinol anhomogenaidd ar ffurf

\[ y=\text{Ffwythiant Cyflenwol + Integryn Neilltuol}. \]

Datrysiad i'r HDC homogenaidd

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+a\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+by=0, \]

yw y ffwythiant cyflenwol ac felly gellir ei ddarganfod trwy ein dull datrys HDCau homogenaidd trefn dau (h.y., trwy ystyried yr hafaliad ategol).

Er mwyn darganfod yr integryn neilltuol, defnyddiwn y dull cyfernodau amhendant. Mae hyn yn cynnwys dyfalu ffurf yr integryn neilltuol (a fydd yn cynnwys cysonion anhysbys), cyn amnewid y ffurf hyn mewn i'r HDC a chymharu cyfernodau y termau gwahanol er mwyn darganfod y datrysiad penodol.

Sut i ddewis ffurf yr integryn neilltuol

Mae dewis o ba ffurf dylid ei geisio ar gyfer yr integryn neilltuol \(y_p\) yn dibynnu ar y term fforsio \(f(x)\).

  • Os yw \(f(x)=\alpha x^n\), ceisiwch

    \[ y_p=a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n. \]

  • Os yw \(f(x)=\alpha \sin(\beta x)\) neu \(f(x)=\alpha\cos(\beta x)\), ceisiwch

    \[ y_p=a_1\sin(\beta x)+a_2\cos(\beta x). \]

  • Os yw \(f(x)=\alpha e^{\beta x}\), ceisiwch

    \[ y_p=ae^{\beta x}. \]

Yna amnewidwch i mewn i'r hafaliad differol a chymharu'r cyfernodau er mwyn darganfod gwerthoedd unrhyw gysonion mympwyol.

Mae yna ychydig o enghreifftiau ar gael isod er mwyn dangos sut.

Enghraifft

Ysytriwch

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-3y=e^{2x}. \]

Yr hafaliad ategol ar gyfer hwn yw \(m^2-2m-3=0,\) sydd â'r gwreiddiau \(m_1=3\) ac \(m_2=-1\), felly y ffwythiant cyflenwol yw

\[ y_c=Ae^{3x}+Be^{-x}. \]

Nawr tybiwch fod yr integryn neilltuol ar ffurf \(y_p=ae^{2 x}\). Mae amnewid hwn mewn i'r HDC yn rhoi

\[ 4ae^{2x}-4ae^{2x}-3ae^{2x}=\exp{2x}. \]

Ar gyfer bodloni hwn, gwelwn fod \(a=-\frac{1}{3}\), ac felly yr integryn neilltuol yw \(y=-\frac{1}{3}e^{2x}\). Felly datrysiad cyffredinol yr HDC yw

\[ y=Ae^{3x}+Be^{-x}-\frac{1}{3}e^{2x}. \]

Enghraifft

Ystyriwch

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-3y=2\sin(3x). \]

Mae hwn gyda'r un hafaliad ategol ac felly yr un ffwythiant cyflenwol a'r enghraifft blaenorol. Nawr tybiwch fod yr integryn neilltuol ar ffurf \(y_p=a_1\sin(3x)+a_2\cos(3x)\). Mae amnewid hwn mewn i'r HDC yn rhoi

\[ -9a_1\sin(3x)-9a_2\cos(3x)-2(3a_1\cos(3x)-3a_2\sin(3x))-3(a_1\sin(3x)+a_2\cos(3x))=2\sin(3x), \]

sydd yn gallu cael ei ailysgrifennu (trwy gasglu cyfernodau o'r termau \(\sin\) a \(\cos\)) fel

\[ (6a_2-12a_1)\sin(3x)-(6a_1+12a_2)\cos(3x)=2\sin(3x). \]

Felly mae angen i ni ddarganfod cysonion \(a_1,a_2\) fel bod (6a_1+12a_2=0) (oherwydd does dim termau cosin ar gael ar yr ochr dde) a \(6a_2-12a_1=2\). Par o hafaliadau cydamserol yw hwn gyda'r datrysiad \(a_1=-\frac{2}{15},a_2=\frac{1}{15}.\) Felly yr integryn neilltuol yw

\[ y_p=\frac{1}{15}\cos(3x)-\frac{2}{15}\sin(3x). \]

Yn olaf, \(y=y_c+y_p\), felly'r datrysiad cyffredinol yw

\[ y=Ae^{3x}+Be^{-x}+\frac{1}{15}\cos(3x)-\frac{2}{15}\sin(3x). \]

Os yw'r term fforsio yn swm o'r mathau yma o ffwythiant

Os yw'r term fforsio yn swm o'r mathau yma o ffwythiant, ceisiwch swm o'r ffwythiannau arbrofol awgrymiedig. Er enghraifft, os \(x+\sin x\) yw'r term fforsio, ceisiwch

\[ y_p(x)=a+bx+c\sin x+d\cos x. \]

Os yw'r term fforsio yn lluoswm o bolynomial gyda naill ai ffwythiant esbonyddol neu trignometrig, ceisiwch luoswm o'r fath ffwythiannau. Er enghraifft, os \(xe^x\) yw'r term fforsio, ceisiwch

\[ y_p(x)=(A+Bx)e^{x}. \]

PWYSIG: achosion pan NAD yw'r uchod yn gweithio

Mae yna rhai sefyllfaoedd pan nad yw'r ffurfiau uchod ar gyfer integrynnau neilltuol yn ddigonol:

Pan mae'r ffurf arferol ar gyfer integryn neilltuol yr un ffurf â'r ffwythiant cyflenwol yna mae angen inni newid yr ffwythiant arbrofol trwy luosi'r ffurf arferol â \(x^k\), lle \(k\) yw nifer o weithiau mae gwreiddyn yr hafaliad ategol sy'n cyfateb i ffurf y ffwythiant arbrofol yn digwydd.

Enghraifft

Ystyriwch

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=2e^{x}. \]

Hafaliad ategol hwn yw \(m^2-2m+1=0\), sydd â gwreiddyn wedi'i ail-adrodd \(m_1=m_2=1\), felly y ffwythiant cyflenwol yw

\[ y_c=(A+Bx)e^{x}. \]

Byddai ein ffwythiant arbrofol arferol ar gyfer yr integryn neilltuol ar ffurf \(y_p=ae^{x}\) OND mae term o'r fath yma wedi'i gynnwys yn y ffwythiant cyflenwol yn barod (gwelir hyn trwy osod \(A=a, B=0\)). Yn yr un modd, mae term ar ffurf yma wedi'i gynnwys yn y ffwythiant cyflenwol yn barod (gellir gweld hyn trwy osod \(A=0,B=a\)). Felly mae \(ae^x\) ac \(axe^x\) yn ddatrysiadau sy'n cyfateb i'r hafaliad homogenaidd

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0, \]

ac felly nid yn ddefnyddiol fel ffwythiannau arbrofol ar gyfer yr integryn neilltuol.

Dylwn geisio, felly,

\[ y_p(x)=ax^2e^x. \]

[Nodwch mai hyn yw'r ffurf arferol wedi'i luosi â \(x^2\), oherwydd bod y gwraidd wedi ymddangos dwywaith (cafodd ei ail-adrodd)]

Enghraifft

Ystyriwch

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+4y=3\cos(2x). \]

Hafaliad ategol hwn yw \(m^2+4=0\), sydd â chyfiau cymhlyg \(m_1=2i,m_2=-2i\), felly y ffwythiant cyflenwol yw

\[ y_c=A\cos(2x)+B\sin(2x). \]

Gan fod y term fforsio ar ffurf yma, dylwn geisio

\[ y_p=x(a_1\sin(2x)+a_2\cos(2x)) \]

fel ein ffwythiant arbrofol.