Rhagarweiniad

Nodiant

Yn y cwrs yma byddwn yn defnyddio tri nodiant gwahanol er mwyn dynodi'r deilliadau:

Nodiant Leibniz:

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2},\ldots\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}. \]

Nodiant Newton (mae'r dotiau yn cael eu defnyddio ar ar gyfer deilliadau mewn perthynas ag amser, fel arfer):

\[ \dot{x}\equiv\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\quad\ddot{x}\equiv\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2},\ldots \]

Nodiant Lagrange:

\[ y'(x)\equiv\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\quad y''(x)\equiv\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}, \; \ldots,\quad y^{(n)}(x)\equiv\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}. \]

Trefn a gradd

Trefn y deilliad \(\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}\) yw \(n\).

Trefn hafaliad differol yw trefn y deilliad sydd â'r trefn uchaf sy'n ymddangos yn yr hafaliad.

Gradd hafaliad differol yw'r pŵer mae'r deilliad sydd â'r trefn uchaf wedi'i godi.

Enghraifft

Trefn yr hafaliad differol cyffredin (HDC)

\[ \left(\frac{\mathrm{d}^5y}{\mathrm{d}x^5}\right)^3-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2xy \]

yw 5 (oherwydd bod y deilliad sydd â'r tefn uchafyn ddeilliad tefn 5) a gradd yr HDC yw 3 (oherwydd bod y deilliad sydd â'r trefn uchaf (sef trefn 5) wedi'i godi i'r pŵer 3).

Llinoledd

Mae llinoledd yn gysyniad fathemategol pwysig iawn; byddwch yn ei weld mewn sawl modiwl mathemateg. Mi welwch y diffiniad mwyaf cyffredinol yn Algebra Llinol blwyddyn nesaf, ond ar gyfer HDCau y diffiniad yw:

Mae HDC sydd â threfn \(n\) yn llinol os y gellir ei ysgrifennu ar ffurf

\[ a_n(x)\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}+a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\ldots+a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_0(x)y+q_0(x)=0. \]

Yma mae \(a_n(x),a_{n-1}(x),\ldots a_{0}(x)\) a \(q_0(x)\) yn ffwythiannau o'r newidyn annibynnol \(x\) yn unig - h.y., nid ydynt yn dibynnut ar y newidyn dibynnol \(y\). Nodwch y gallai unrhyw un o'r ffwythiannau yma fod yn sero neu'n gysonyn - mae rhain yn achosion arbennig o'r ffwythiannau o \(x\).

Enghreifftiau

  • Mae'r HDC trefn tri

    \[ 3\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}+2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\cos(x)y +\sin(x)=0 \]

    yn llinol, oherwydd y gellir ei ysgrifennu ar ffurf y diffiniad gydag

    \[ a_3(x)=3,\quad a_2(x)=0, \quad a_1(x)=2x,\quad a_0(x)=\cos(x),\quad q_0(x)=\sin(x). \]

  • Mae'r HDC trefn dau

    \[ xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sin(x) \]

    yn aflinol, oherwydd bod cyfernod y term \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) yn dibynnu ar \(y\).

  • Mae'r HDC trefn tri

    \[ 4\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}y^3}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^3=0 \]

    yn aflinol oherwydd ni ellir ysgrifennu'r term \(\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^3\) fel lluoswm y \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) gyda ffwythiant sydd ddim yn ddibynnol ar \(y\).