HDCau trefn un

Dewis dull i ddatrys HDCau trefn un (siart-llif)

Pan rydym yn cwrdd â HDC yn y gwyllt, mae cynllun ymysodiad yn angenrheidiol. Rydym wedi gweld sawl dull y gellir eu defnyddio i ddatrys HDCau trefn un (wedi'i manylu isod ac yn fwy drwyadl yn nodiadau'r darlithoedd). Efalli bydd y siart llif isod yn ddefnyddiol fel canllaw ar gyfer y math o broses meddwl byddai'n arwain at y dull priodol.

Siart llif HDCau trefn un

HDCau trefn un, gradd un syml

Gellir datrys HDC ar ffurf

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x), \]

lle mae \(f(x)\) yn ffwythiant hysbys, yn uniongyrchol trwy integru'r ddau ochr mewn perthynas ag \(x\). Cofiwch i gynnwys cysonyn mympwyol!

Nodwch hefyd (talwch sylw!) bod y dull integru uniongyrchol yn gweithio ar gyfer HDCau ar ffurf yma YN UNIG. Mae angen dulliau mwy cymhleth er mwyn delio gyda'r mathau eraill.

Amodau ffin

Gelwir datrysiadau i HDCau sy'n cynnwys cysonion mympwyol yn ddatrysiadau cyffredinol. Gellir cymhwyso amodau ffin ar y datrysiadau cyffredinol er mwyn darganfod gwerthoedd penodol ar gyfer y cysynion hyn; gelwir datrysiad sy'n cynnwys y gwerthoedd penodol hyn yn ddatrysiad penodol.

Fel arfer, mae amodau ffin yn enwi gwerth y newidyn dibynnol \(y(x)\) (h.y., y ffwythiant rydym fel arfer yn ceisio darganfod) ar gyfer rhyw werth \(x\) penodol. Er enghraifft, mae'r amod ffin \(y(2)=15\) yn dweud wrthym y dylai \(y\) gymryd y gwerth 15 pan mae \(x\) yn cymryd y gwerth 2.

Ar ôl cymhwyso'r amodau ffin (cyn belled bod yr un nifer o amodau ffin â threfn yr hafaliad), ni ddylai'r datrysiad penodol gynnwys cysonion mympwyol.

Datrysiadau ymhlyg ac echblyg

Gelwir datrysiadau sy'n mynegi'r newidyn dibynnol fel ffwythiant o'r newidyn annibynnol (h.y., mynegiadau ar ffurf \(y=y(x)\)) fel datrysiadau echblyg. Er enghraifft, mae gan yr HDC \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3x^2-x+1\) datrysiad cyffredinol echblyg a roddir gan

\[ y=x^3-\frac{x^2}{2}+x+A, \]

lle mae \(A\) yn gysonyn mympwyol.

Nid yw'n bosib neu'n syml i fynegi'r datrysiad yn y fath ffurf bob tro. Yn hytrach na hyn, gall rhyw berthynas llai syml rhwng \(x\) ac \(y\) (heb unrhyw dermau sy'n cynnwys deilliadau) ymddangos; gelwir y fath ddatrysiadau yn ddatrysiadau ymhlyg. Mae enghreifftiau yn cynnwys datrysiadau fel \(y^2=4(x+1),\) neu \(\left|\frac{y+1}{x-1}\right|=1.\)

Gwahanu newidynnau

Os gellir ad-drefnu HDC i un ar ffurf safonol:

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y), \]

yna gellir darganfod y datrysiad trwy'r dull gwahanu newidynnau:

\[ \int\frac{1}{g(y)}\mathrm{d}y=\int f(x)\mathrm{d}x+\text{cysonyn}. \]

Ceir y canlyniad yma trwy rannu'r ffurf safonol â \(g(y)\) ac yna integru y ddau ochr mewn perthynas ag \(x\).

Ffwythiannau homogenaidd a HDCau

Gelwir ffwythiant\(f(x,y)\) yn homeganaidd â'r gradd \(n\) os \(f(kx,ky)=k^n f(x,y)\) ar gyfer unrhyw rif \(k\neq0\).

Gellir ysgrifennu unrhyw ffwythiant homogenaidd â'r gradd \(n\) yn y ffurf \(f(x,y)=x^n\phi\left(\frac{y}{x}\right)\) ar gyfer rhyw ffwythiant \(\phi\) o newidyn sengl.

Gelwir hafaliad differol cyffredinol (HDC) ar ffurf:

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(x,y), \]

lle mae \(F(x,y)\) yn homegenaidd â'r gradd sero, yn HDC homogenaidd.

Datrys HDCau Homogenaidd

Tybiwch fod gennym HDC homogenaidd trefn un

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(x,y). \]

Os amnewidwn \(y=vx\) yn yr HDC yna, yn ôl rheol y lluoswm, mae gennym bod \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}.\) Ymhellach i hyn, yn ôl ein arsylwadau blaenorol am y gallu i ysgrifennu ffwythiant homogenaidd o \(x\) ac \(y\) fel ffwythiant o un newidyn, gallwn ysgrifennu \(F(x,y)=\phi(v).\) Mae amnewid yr arsylwadau yma i'rHDC gwreiddiol yn rhoi

\[ v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\phi(v). \]

Mae hyn nawr yn HDC gyda'r newidyn ddibynnol \(v\) a'r newidyn annibynnol \(x\).

Gallwn ddatrys hwn trwy wahanu'r newidynnau, gan fod ad-drefnu yn ildio

\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}(\phi(v)-v), \]

lle mae'r ochr dde yn luoswm o ffwythiant o'r newidyn dibynnol \(v\) a ffwythiant o'r newidyn annibynnol \(x\). Felly

\[ \int\frac{1}{\phi(v)-v}\mathrm{d}v=\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x+c, \]

lle mae \(c\) yn gysonyn mympwyol.

Gostwng i ffurf homogenaidd trefn un

Ystyriwch yr HDCau ar ffurf

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{lx+my+n}, \]

lle mae \(a,b,c,l,m,n\) yn gysonion. Dyw hwn ddim yn HDC homogenaidd ond gellir ei wneud yn homogenaidd trwy newid y newidynnau

\[ x=x_0+u,\qquad y=y_0+v, \]

lle mae \(x_0,y_0\) yn gysonion. Yna

\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}=\frac{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{au+bv+\{ax_0+by_0+c\}}{lu+mv+\{lx_0+my_0+n\}}. \]

Yna gallwn ddewis \(x_0\) ac \(y_0\) (trwy ddatrys y system o ddau hafaliad cydamserol) fel bod y ddau fynegiad yn y bachau cyrliog yn hafal i sero. Fely mae'r HDC yn newid i

\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}=\frac{au+bv}{lu+mv}, \]

sy'n homogenaidd. Gellir datrys yr hafaliad yma nawr trwy ein dull arferol ar gyfer HDCau homogenaidd, trefn un i roi datrysiad yn nhermau \(u\) a \(v\). Yn olaf, gellir rhoi popeth yn ôl yn nhermau'r newidynnau gwreiddiol \(x\) ac \(y\) er mwyn cwblhau'r broblem.

Datrys HDCau trefn un, llinol: Ffactor integru

Gellir wastad ysgrifennu hafaliad differol cyffredinol trefn un llinol ar ffurf (nodwch: efallai bydd angen peth ad-drefnu yn gyntaf)

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x). \]

Gellir datrys y fath hafaliadau differol trwy luosi'r ddau ochr â "ffactor integru" \(R(x)\), y dewiswn fel

\[ R(x)=\exp\left(\int P(x)\mathrm{d}x\right). \]

Trwy wneud hyn, mae'r HDC gwreiddiol yn newid i

\[ R(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+R(x)P(x)y=R(x)Q(x). \]

Yna gallwn sylwi mai deilliad \(R(x)\) mewn perthynas ag \(x\) sydd ar yr ochr chwith (gellir gwirio hyn trwy ddifferu \(R(x)y\) gan ddefnyddio rheol y lluoswm), sy'n rhoi

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{R(x)y\right\}=R(x)Q(x). \]

Mae integru y ddau ochr mewn perthynas ag \(x\) yn ildio \(R(x)y=\int R(x)Q(x)\mathrm{d}x+c,\) lle cysonyn mympwyol yw \(c\), ac felly mae ad-drefnu yn rhoi'r datrysiad echblyg

\[ y=\frac{1}{R(x)}\left(\int R(x)Q(x)\mathrm{d}x+c\right) \]

Hafaliad Bernoulli

Gelwir hafaliad differol ar ffurf

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n, \]

lle mae \(n\) yn gysonyn, yn hafaliad Bernoulli. Os \(n=0\) neu \(n=1\) yna mae'n llinol; fel arall mae'n aflinol.

Gellir gostwng y fath hafaliad i HDC llinol trefn un trwy wneud yr amnewidiad \(z=y^{1-n}.\) Ar ôl peth symleiddio ac ad-drefnu (fel rydym wedi gweld yn y darlithoedd), mae'r hafaliad yn gostwng i HDC trefn un llinol y gellir ei ddatrys trwy ddefnyddio ffactor integru.